中学的时候，老师组织过一次别开生面的“礼物交换”：每个人把自己的名字写在纸条上，然后把纸条放在一起，让大家各抽一张。每人要给自己抽到的那个人写一张新年卡片，或者准备一个小礼品。
那时候我就在想：我会抽到自己吗？要是有人抽到了自己，岂不是很尴尬？
这样的可能性当然是存在的。而这个游戏稍作变化，就会变成日剧《轮到你了》中出现的一个关键情节——13名公寓楼住户在参加住户大会时，所有人在一张纸条上写下自己最希望杀死的人的名字（写谁都可以，不限于现场的人），之后进行抽签，相当于“交换杀人”。但没有想到的是，之后纸条上写的人真的开始一个接一个地死去，事件开始向不可控制的方向发展……
众人抽签 | 《轮到你了》
这里有一个问题就是，所有人写纸条并抽签时，有多大的可能性没有人会抽到自己写的纸条呢？
在第7集中，202住户、数学专业学生黑岛沙和（西野七濑饰）就对这个问题进行了计算，并得出了正确答案。
数学专业学生黑岛沙和 | 《轮到你了》
“没有人抽到自己纸条”的概率约为36.7%，既至少一个人抽到自己纸条的可能性是63.3%。
黑岛计算结果 | 《轮到你了》
那这个结果是怎么算出来的呢？
我们来考虑一下，参加人数为不同的数目时，“没有人抽到自己纸条”这种情况，可能会出现多少种不同的排列方式。
1
如果参加游戏的只有1个人
如果参加游戏的只有一个人，那么ta必定会抽到自己的纸条。“没有人抽到自己纸条”的情况数是0。
2
如果参加游戏的有2个人
假设这两个人是a和b，那么“没有人抽到自己纸条”的情况数是1，a抽到b写的纸条，b抽到a写的纸条。
3
如果参加游戏的有3个人
参加游戏的a，b和c这3个人，“没有人抽到自己纸条”的情况数是2，其中，
i. a抽到b写的纸条（这时还剩下a写的纸条，和c写的纸条），b抽到c写的纸条，c抽到a写的纸条，这是第一种情况。
ii. a抽到c写的纸条（这时还剩下a写的纸条，和b写的纸条），b抽到a写的纸条，c抽到b写的纸条，这是第二种情况。
因为考虑的情况是“没有人抽到自己纸条”，能够看出，这就是全部的可能情况了。
《轮到你了》剧照
4
如果参加游戏的有4个人
要像刚才那么数，就有点复杂了。
先明确条件，A，B，C，D四个人，每个人都不能抽到自己写的纸条。比如B不能抽到自己写的条，允许抽到A、C、D写的条。
这时，我们可以改换一下思路。由于A不能抽到自己写的纸条，先假设A拿到了B的纸条。这时候，我们的问题实际上转化为了两种情况：
情况一：
BCD三个人，来抽A写的纸条(记为a)、C写的纸条c、D写的纸条d这3张纸条，抽的时候都没有抽到对应的纸条；BCD三个人抽acd三张纸条，其实跟BCD三个人抽bcd三张纸条是一个意思。只不过，原来我们规定的是，B不能抽到b纸条，而现在我们把这个规定改为了，B不能抽到a纸条.
情况二：
B当然是可以抽到a纸条的，这种情况要单独计算，这时B抽到了a纸条，CD两个人抽纸条，没有抽到自己。
仔细想想，这不就是“3个人抽签没有抽到自己”+“2个人抽签没有抽到自己”？这两者我们前面都算过了，加起来，这就是“A拿到了B的纸条”这种情况下的全部可能情况数。然后把前置条件“A拿到了B的纸条”再推及到别的情况，一共有三种（A拿到了B、C、D的纸条）。
于是，4个人的游戏中，“没有人抽到自己纸条”的情况数，就是3*(2+1)=9。
以此类推，若参加游戏的是5个人，“没有人抽到自己纸条”的情况数是4*(9+2)=44，6个人，则是5*(44+9)=265，7个人是6*(265+44)=1854。
现在我们来计算一下概率。7张纸条随意排列，排列情况总数是7！共5040种。而1854/5040=0.367857……
这个数字，已经很贴近剧中数学系住户算出来的数字了。而当 n 继续增大时，这个概率数字会快速收敛到 1/e = 0.367879……（e为自然对数的底）。
装错信封问题
这种排列，数学上叫做“全错位排列”。或许你也发现了，我们刚刚其实是使用了递推的方式，把全错位排列可能数目记为Dn，推导出了Dn=(Dn-1 + Dn-2)*(n-1)。
实际上，这个问题属于组合数论的范畴，又称为“装错信封问题”。“装错信封问题”是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）的儿子丹尼尔·伯努利（DanidBernoulli，1700－1782）提出来的，瑞士数学家欧拉（Euler）等也研究过这个问题。大意为：
n封不同的信及相应的n个不同的信封，把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
可以看出，这个描述中蕴含的数学问题，其实跟写字条后抽签是一样的，也可以用多种不同的方法来描述。比如我把n 张扑克牌打乱，然后发牌，如果出现发牌次序数=牌面数字的情况，我就赢了，比如发第3张牌时，牌面是3，那么我有多大可能赢？
这个概率，你现在知道了——如果牌足够多，那可以说这个概率约等于1-0.367 ，即0.633，且会向1-1/e无限靠近。
还可以再换个说法，这个描述等价于：
把数字1 ~ n放入序号1 ~ n的格子中，数字1不能放入序号1的格子，数字2不能放入序号2的格子……数字n不能放入序号n的格子。
一下就想起中学时的组合数学题了是不是。
推导开始
好了！以下是数学学霸专用高能时间，请准备好之后再打开。
/*
别怕，其实运算只有加减乘除和阶乘，往下看就知道了！
*/
剧中，202室住户、数学系学生黑岛沙和写的公式，正是全错位排列的排列数目的计算公式。
黑岛沙和的公式 |《轮到你了》
排列数目= n! *( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + (-1)n *1/n! )
由于n个纸条随机排列，分给n个人的总的排列可能数目是n!。
全错位排列数目/总的可能排列数目，就是全错位排列的概率，也就是：
( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + (-1)n *1/n! )
实际上，这正是 1/e 的麦克劳林展开式 （泰勒展开式的一种特殊形式），当n增大时，这个数字会迅速收敛到 1/e。
作者供图
这也就是剧中黑岛沙和写的这个公式了，剧中参与游戏的有13个人，n为13。
《轮到你了》剧照
n! * ( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ... + (-1)n *1/n! ) ，这个全错位排列的出现数目的公式，可以有多种证明。把全错位排列可能数目记为Dn，我们上面已经使用递推的证明方法，证明了Dn=(Dn-1 + Dn-2)*(n-1)。这时，其实证明已经大体完成了。
有了Dn=(n-1)(Dn-1 + Dn-2)，就可以比较容易地推出Bernoulli-Euler装错信封问题的通项公式：
由于Dn=(n-1)(Dn-1 + Dn-2)，
Dn + Dn-1 = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)+ Dn-1 = n*Dn-1 -Dn-1 + (n-1)Dn-2 + Dn-1 = n*Dn-1+ (n-1)Dn-2
也就是，Dn - n*Dn-1 = - Dn-1 + (n-1)Dn-2
Dn -n*Dn-1 = - [Dn-1 - (n-1)Dn-2 ]，
从这个式子，我们有，
D3 - 3*D2 = - [D2 - 2D1 ]
D4 - 4*D3 = - [D3 - 3D2 ] = -1 * -1 * [D2 - 2D1 ]
D5- 5*D4 = - [D4- 4D3 ] = -1 * -1 * -1 * [D2 -2D1 ]
这表明，Dn- n*Dn-1 ，是以D2 - 2D1 = 1 （因为D1= 0，D2 = 1，D3= 2，D4=9 ......）为首项，公比为-1的等比数列。
于是，Dn- n*Dn-1 = （-1）n-2 ，故Dn= n*Dn-1 +（-1）n ，n≥2 n为正整数。
作者供图
Dn/n! = (-1)2 * (1/2!) + (-1)3 * (1/3!) + ...... + (-1)n-1* (1/n-1!) + (-1)n * (1/n!)
这个公式实际上可以进一步化简为 Dn = （n!/e + 0.5），e为自然对数的底。
回过头来看一下，这正是第8集里202住户、数学系学生黑岛沙和写的公式。
《轮到你了》剧照
在第二季中，入住304房间的新人物二阶堂忍与202住户黑岛沙都就读于国际理工大学，二阶堂忍是研究生，正在研究AI人工智能。第二季剧情中，他在帮助男主角用AI程序分析目前的数据，对凶手特征做测写。
新来的研究人工智能的住户和黑岛 |《轮到你了》
总之，让我们期待两名学生的表现吧，也希望之后给大家带来更多数学科普，大家准备好小铅笔一起来算吧！
作者：小青
编辑：李子，樟脑玩
数学审核：gsx
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